अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6 का ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ है।$x y^6$ से भाग देने पर: $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x y^5} = x^2$ प्राप्त होता है।

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$y^{-5} = \frac{5}{2} x^3 + cx^5$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ है।$x y^6$ से भाग देने पर: $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x y^5} = x^2$ प्राप्त होता है।माना $v = y^{-5}$, तब $\frac{dv}{dx} = -5 y^{-6} \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$ है।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$ प्राप्त होता है।$-5$ से गुणा करने पर: $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x} v = -5 x^2$ प्राप्त होता है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ है।$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} (v x^{-5}) = -5 x^2 \cdot x^{-5} = -5 x^{-3}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v x^{-5} = \int -5 x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2} x^{-2} + c$ प्राप्त होता है।$x^5$ से गुणा करने पर: $v = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ प्राप्त होता है।चूंकि $v = y^{-5}$, अतः हल $y^{-5} = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ है।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ का हल है:

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