मान लीजिए $I(x)=\int\frac{3dx}{(4x+6)(\sqrt{4x^{2}+8x+3})}$ और $I(0)=\frac{\sqrt{3}}{4}+20$ है। यदि $I(\frac{1}{2})=\frac{a\sqrt{2}}{b}+c$, जहाँ $a, b, c \in N$ और $gcd(a,b)=1$, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x+3}{x^{2}-2x-5}$

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{dx}{(3+4x^2) \sqrt{4-3x^2}}$,$|x| < \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। यदि $f(0) = 0$ और $f(1) = \frac{1}{\alpha \beta} \tan^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$,जहाँ $\alpha, \beta > 0$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान $.........$ है।

यदि $\int \frac{a \cos x+3 \sin x}{5 \cos x+2 \sin x} d x=\frac{26}{29} x-\frac{k}{29} \log |5 \cos x+2 \sin x|+c$ है,तो $|a+k|=$

$\int {\left[ {\log (\log x) + \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \;dx = $

यदि $\int \frac{1}{\cos 4x \cos 2x} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left(\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\right) - \frac{1}{2} \log g(x) + C$ है,तो $g\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।