मान लीजिए $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, जहाँ $f(3) = 18$, $f'(3) = 0$, और $f''(3) = 4$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$,तो निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(A)$ $f(x)$,$x=-\frac{\pi}{2}$ पर सतत है
$(B)$ $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(D)$ $f(x)$,$x=-\frac{3}{2}$ पर अवकलनीय है

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$ है,तो $x = 0$ पर $f(x)$ क्या है?

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित वास्तविक मान वाले फलन हैं,इस प्रकार कि $g^{\prime \prime}(x)$ सतत है,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,और $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{कथन}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{कथन}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

समीकरण $e^{x-1} + \log x + x - 2 = 0$, जहाँ $x > 0$ है, के वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+|x-1|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$