मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (1+x^{2})dy+( | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy + (y-	an^{-1}x)dx = 0$ है।$(1+x^{2})dx$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{	an^{-

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$\frac{2}{e^{\pi/4}}+\frac{\pi}{4}-1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy + (y-	an^{-1}x)dx = 0$ है।$(1+x^{2})dx$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{	an^{-1}x}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ और $Q = \frac{	an^{-1}x}{1+x^{2}}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{	an^{-1}x}$ है।सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + c$ है।$y \cdot e^{	an^{-1}x} = \int \frac{	an^{-1}x}{1+x^{2}} e^{	an^{-1}x} dx + c$.मान लीजिए $t = 	an^{-1}x$, तो $dt = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ होगा।समाकलन $\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + c$ बन जाता है।अतः, $y \cdot e^{	an^{-1}x} = (	an^{-1}x) e^{	an^{-1}x} - e^{	an^{-1}x} + c$.चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है, $1 \cdot e^{0} = (0) e^{0} - e^{0} + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.इस प्रकार, $y \cdot e^{	an^{-1}x} = (	an^{-1}x - 1) e^{	an^{-1}x} + 2$.$e^{	an^{-1}x}$ से भाग देने पर, $y = 	an^{-1}x - 1 + 2e^{-	an^{-1}x}$ प्राप्त होता है।$x = 1$ के लिए, $y(1) = 	an^{-1}(1) - 1 + 2e^{-	an^{-1}(1)} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{2}{e^{\pi/4}}$.

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy+(y-\tan^{-1}x)dx=0$ का हल वक्र है, जहाँ $y(0)=1$ है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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