ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (1+x^{2})dy+(y-t | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy + (y-	an^{-1}x)dx = 0$ છે.$(1+x^{2})dx$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{	an^{-1}x}{1+x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{e^{\pi/4}}+\frac{\pi}{4}-1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy + (y-	an^{-1}x)dx = 0$ છે.$(1+x^{2})dx$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{	an^{-1}x}{1+x^{2}}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ અને $Q = \frac{	an^{-1}x}{1+x^{2}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{	an^{-1}x}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + c$ છે.$y \cdot e^{	an^{-1}x} = \int \frac{	an^{-1}x}{1+x^{2}} e^{	an^{-1}x} dx + c$.ધારો કે $t = 	an^{-1}x$, તો $dt = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ થાય.સંકલન $\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + c$ બને છે.તેથી, $y \cdot e^{	an^{-1}x} = (	an^{-1}x) e^{	an^{-1}x} - e^{	an^{-1}x} + c$.$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી, $1 \cdot e^{0} = (0) e^{0} - e^{0} + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.આમ, $y \cdot e^{	an^{-1}x} = (	an^{-1}x - 1) e^{	an^{-1}x} + 2$.$e^{	an^{-1}x}$ વડે ભાગતા, $y = 	an^{-1}x - 1 + 2e^{-	an^{-1}x}$ મળે છે.$x = 1$ માટે, $y(1) = 	an^{-1}(1) - 1 + 2e^{-	an^{-1}(1)} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{2}{e^{\pi/4}}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy+(y-\tan^{-1}x)dx=0$ નો ઉકેલ વક્ર છે, જ્યાં $y(0)=1$ છે. તો $y(1)$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3, (x > 0)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

નીચેનામાંથી કયું/કયા સમીકરણ(ઓ) સુરેખ છે?

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ માટે $y(1) = 1$ હોય તો તેનો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module