मान लीजिए कि [cdot] महत्तम पूर्णांक फलन है। त | vedclass

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Question

(B) समाकलन $\int_0^3 \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} dx$ है। हम अंतराल $[0, 3)$ को $[0, 1), [1, 2), [2, 3)$ में विभाजित करते हैं।$x \in [0, 1)$ के लिए, $[x]

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$\frac{1}{2} (e^2 + e^3 - e^{-2} - e^{-3})$

Vedclass · Answer

(B) समाकलन $\int_0^3 \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} dx$ है। हम अंतराल $[0, 3)$ को $[0, 1), [1, 2), [2, 3)$ में विभाजित करते हैं।$x \in [0, 1)$ के लिए, $[x] = 0$, इसलिए $[x]! = 0! = 1$। समाकलन $\int_0^1 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_0^1 = (e - e^{-1}) - (1 - 1) = e - e^{-1}$ होगा।$x \in [1, 2)$ के लिए, $[x] = 1$, इसलिए $[x]! = 1! = 1$। समाकलन $\int_1^2 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_1^2 = (e^2 - e^{-2}) - (e - e^{-1}) = e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}$ होगा।$x \in [2, 3)$ के लिए, $[x] = 2$, इसलिए $[x]! = 2! = 2$। समाकलन $\int_2^3 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = \frac{1}{2} [e^x - e^{-x}]_2^3 = \frac{1}{2} ((e^3 - e^{-3}) - (e^2 - e^{-2})) = \frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}$ होगा।इनका योग करने पर: $(e - e^{-1}) + (e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}) + (\frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}) = \frac{1}{2}e^3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-3} = \frac{1}{2}(e^3 + e^2 - e^{-2} - e^{-3})$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\int_0^3 \left( \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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मान लीजिए $[x]$ और $\{x\}$ क्रमशः एक वास्तविक संख्या $x$ का पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग हैं। समाकलन $\int_0^5 [x]\{x\} dx$ का मान है

$\int_0^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\pi /4}^{5\pi /4} (\sin x - \cos x) dx + \int_{2\pi }^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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