मान लीजिए कि y = y(x) अवकल समीकरण xsqrt{1-x^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ है।$dx$ और $x\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \f

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$3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ है।$dx$ और $x\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है, इसलिए $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$।मान लीजिए $t = \cos^{-1}x$, तो $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ और $x = \cos t$ होगा।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$।दिया गया है कि $\lim_{x	o 1^-} y(x) = 1$, इसलिए $x 	o 1$ के लिए $yx 	o 1$ होगा। अतः, $1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$, जिससे $1 = -1 + C$ प्राप्त होता है, अतः $C = 2$।इसलिए, $yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$।$x = \frac{1}{2}$ पर, $y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$।$2$ से गुणा करने पर, हमें $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

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