ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ xsqrt{1-x^2} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ છે.$dx$ અને $x\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{

Vedclass · Accepted Answer

$3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ છે.$dx$ અને $x\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે, તેથી $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$.ધારો કે $t = \cos^{-1}x$, તો $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ અને $x = \cos t$ થાય.આ કિંમતો મૂકતા, $yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$.આપેલ છે કે $\lim_{x	o 1^-} y(x) = 1$, તેથી $x 	o 1$ માટે $yx 	o 1$ થાય. આમ, $1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$, જે $1 = -1 + C$ આપે છે, તેથી $C = 2$.તેથી, $yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$.$x = \frac{1}{2}$ માટે, $y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$.$2$ વડે ગુણતા, આપણને $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$. તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\sec x \operatorname{cosec} x) y = \cos^2 x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) એ કયા વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module