मान लीजिए H: frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(A) नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है, इसलिए $ae = 3$। नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = \frac{8}{3}$ है, इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{3}$। दो

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$12$

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(A) नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है, इसलिए $ae = 3$। नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = \frac{8}{3}$ है, इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{3}$। दोनों का गुणा करने पर, $a^2 = 3 	imes \frac{4}{3} = 4$, इसलिए $a = 2$। अब $e^2 = \frac{ae}{a/e} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$, इसलिए $e = \frac{3}{2}$। $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर, $b^2 = 4(\frac{9}{4} - 1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$। अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है। रेखा $x = k$ के लिए, प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ और $B$ $(k, y_1)$ और $(k, -y_1)$ हैं, जहाँ $\frac{k^2}{4} - \frac{y_1^2}{5} = 1$, इसलिए $y_1^2 = 5(\frac{k^2}{4} - 1)$। त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (2y_1) 	imes k = k y_1 = 4\sqrt{15}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $k^2 y_1^2 = 16 	imes 15 = 240$। $y_1^2$ का मान रखने पर, $k^2 	imes 5(\frac{k^2}{4} - 1) = 240 \implies k^2(\frac{k^2 - 4}{4}) = 48 \implies k^4 - 4k^2 - 192 = 0$। $u = k^2$ लेने पर, $u^2 - 4u - 192 = 0 \implies (u - 16)(u + 12) = 0$। चूंकि $k^2 > 0$, इसलिए $k^2 = 16$, अतः $k = 4$। नोट: प्रश्न में $a^2$ पूछा गया है जो $4$ है।

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यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब दूसरे नाभि पर $60^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $\dots \dots \dots$ वृत्त पर स्थित है।

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