मान लीजिए $f$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, जहाँ $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान . . . . . . है।

अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{2x}$ अतिपरवलय के एक परिवार का प्रतिनिधित्व करता है (जब तक कि यह रेखाओं के एक जोड़े का प्रतिनिधित्व न करे),तो इसकी उत्केंद्रता क्या है?

$(xy \cos xy + \sin xy)dx + x^2 \cos xy \, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए विवृत अंतरालों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ द्वारा निरूपित वक्रों के परिवार में से वह वक्र जो $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,है