ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $(1, 1)$ અને $(\frac{1}{10}, 100)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $PA: PB = 1: k$ હોય અને $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0) = 2$,તો $4y(1) - 5 \log_e 3$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ નો ઉકેલ છે જે $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $y$ નીચેનામાંથી કોનું સમાધાન કરે છે?

જો $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ હોય,તો $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $f(x, y, c) = 0$ હોય, તો $c$ ની કિંમત શોધો જેથી $f(1, 1, c) = 0$ થાય.

એક વિધેય $y = f(x)$ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = \cos x - \sin x$ નું સમાધાન કરે છે,જેમાં પ્રારંભિક શરત છે કે જ્યારે $x \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $y$ સીમિત (bounded) રહે છે. $y = f(x)$,$y = \cos x$ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.