मान लीजिए f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2x^4 + dots + 2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$,सार्व अनुपात $r = 2x^2$ और $n = 11$ पद हैं।$f(x) = \sum_{k=0}^{10} (2x^2)^k = \frac{(2x^

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ठीक एक न्यूनतम

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(B) दिया गया फलन एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$,सार्व अनुपात $r = 2x^2$ और $n = 11$ पद हैं।$f(x) = \sum_{k=0}^{10} (2x^2)^k = \frac{(2x^2)^{11} - 1}{2x^2 - 1}$.वैकल्पिक रूप से,हम बहुपद का सीधे अवकलन कर सकते हैं:$f(x) = 1 + 2x^2 + 4x^4 + 8x^6 + \dots + 1024x^{20}$.$f'(x) = 4x + 16x^3 + 48x^5 + \dots + 20480x^{19}$.$f'(x) = 4x(1 + 4x^2 + 12x^4 + \dots + 5120x^{18})$.$f'(x) = 0$ रखने पर,हम देख सकते हैं कि $x = 0$ ही एकमात्र वास्तविक क्रांतिक बिंदु है क्योंकि कोष्ठक में दिया गया पद सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है।$x = 0$ पर द्वितीय अवकलज की गणना करने पर:$f''(x) = 4 + 48x^2 + 240x^4 + \dots$$f''(0) = 4 > 0$.चूंकि $f'(0) = 0$ और $f''(0) > 0$,फलन $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम रखता है। चूंकि यह धनात्मक अग्रणी गुणांक वाला एक सम घात का बहुपद है,इसलिए यह वैश्विक न्यूनतम है। अतः,$f(x)$ के पास ठीक एक न्यूनतम है।

मान लीजिए $f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2x^4 + \dots + 2^{10}x^{20}$. तो $f(x)$ के पास है:

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