मान लीजिए f(x) = begin{cases} x^alpha ln x, & | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ के लिए $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:$1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।$2$.

Vedclass · Accepted Answer

$0.5$

Vedclass · Answer

(D) $f(x)$ के लिए $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:$1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।$2$. $f(x)$ को $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।$3$. $f(0) = f(1)$.शर्त $3$ की जाँच करने पर: $f(1) = 1^\alpha \ln(1) = 0$ और $f(0) = 0$ है। अतः $f(0) = f(1) = 0$ किसी भी $\alpha$ के लिए सत्य है।शर्त $1$ की जाँच करने पर ($x=0$ पर सांतत्य): हमें $\lim_{x 	o 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ की आवश्यकता है। यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि और केवल यदि $\alpha > 0$ हो।शर्त $2$ की जाँच करने पर ($(0, 1)$ पर अवकलनीयता): $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \ln x + x^{\alpha-1} = x^{\alpha-1}(\alpha \ln x + 1)$ है। यह किसी भी $\alpha$ के लिए $x \in (0, 1)$ पर परिभाषित है।दिए गए विकल्पों में से,केवल $\alpha = 0.5$ ही $\alpha > 0$ की शर्त को पूरा करता है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $\alpha = $ है,तो $x \in [0, 1]$ के लिए $f$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।

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