मान लीजिए कि f(x) अंतराल [1, 3] में दो बार अव | vedclass

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Question

(D) रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (1, 3)$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।किसी भी $x \in [1, 3]$ के लिए,$f^{\prime}$ पर माध्य मान प्रमेय लाग

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$-2 \leq f^{\prime}(x) \leq 2$

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(D) रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (1, 3)$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।किसी भी $x \in [1, 3]$ के लिए,$f^{\prime}$ पर माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,$x$ और $c$ के बीच एक बिंदु $d$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(x) - f^{\prime}(c) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ हो।चूंकि $f^{\prime}(c) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ प्राप्त होता है।$|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ दिया गया है,इसलिए $|f^{\prime}(x)| = |f^{\prime \prime}(d)| \cdot |x - c| \leq 2 \cdot |x - c|$ है।चूंकि $x, c \in [1, 3]$,इसलिए $|x - c|$ का अधिकतम मान $3 - 1 = 2$ है।अतः,$|f^{\prime}(x)| \leq 2 \cdot 2 = 4$,जो दर्शाता है कि $-4 \leq f^{\prime}(x) \leq 4$। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $D$ है।

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