मान लीजिए f(x) = int frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$.मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तब $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$.इन मानों को

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$\log(1 + \sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$.मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तब $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \int \frac{	an^2 	heta \cdot \sec^2 	heta \, d	heta}{\sec^2 	heta (1 + \sec 	heta)} = \int \frac{	an^2 	heta \, d	heta}{1 + \sec 	heta}$.$	an^2 	heta = \sec^2 	heta - 1$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \int \frac{\sec^2 	heta - 1}{1 + \sec 	heta} \, d	heta = \int \frac{(\sec 	heta - 1)(\sec 	heta + 1)}{1 + \sec 	heta} \, d	heta = \int (\sec 	heta - 1) \, d	heta$.समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = \log|\sec 	heta + 	an 	heta| - 	heta + C$.चूंकि $x = 	an 	heta$,इसलिए $\sec 	heta = \sqrt{1 + x^2}$ और $	heta = 	an^{-1} x$.अतः,$f(x) = \log|\sqrt{1 + x^2} + x| - 	an^{-1} x + C$.चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,तो $\log(1) - 0 + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$.इसलिए,$f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2}) - 	an^{-1} x$.$x = 1$ के लिए,$f(1) = \log(1 + \sqrt{2}) - 	an^{-1}(1) = \log(1 + \sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$.

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$x < 1$ के लिए,$\int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int \frac{\sin 2x + 2 \cos x}{4 \sin^2 x + 5 \sin x + 1} \, dx$ और $f(0) = 0$ है, तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right) =$

$\int \frac{1}{e^x+1} \, dx =$

यदि $f(x) = \sqrt{\tan x}$ और $g(x) = \sin x \cdot \cos x$ है,तो $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है)।

$\int \frac{\sec x}{\sqrt{\sin (2 x + \theta) + \sin \theta}} d x =$

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