x

Question

(D) दिया गया है $I = \int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$. चूंकि $x-x^2 = x(1-x)$,इसलिए $I = \int \frac{x(1-x)}{\sqrt{1-x}} d x = \int x \sqrt{1-x} d x$

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$-\frac{2}{15}(1-x)^{3 / 2}(3x+2)+c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $I = \int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$. चूंकि $x-x^2 = x(1-x)$,इसलिए $I = \int \frac{x(1-x)}{\sqrt{1-x}} d x = \int x \sqrt{1-x} d x$. माना $1-x = t^2$,तब $dx = -2t dt$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (1-t^2) t (-2t) dt = 2 \int (t^4 - t^2) dt$. $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = 2 \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right] + c = \frac{2}{15} t^3 (3t^2 - 5) + c$. $t = \sqrt{1-x}$ वापस रखने पर: $I = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} [3(1-x) - 5] + c = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (-3x - 2) + c = -\frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (3x+2) + c$.

$x < 1$ के लिए,$\int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_1^4 x \sqrt{x^2-1} \, dx = \alpha(k)^\beta$ है,तो $\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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