मान लीजिए N सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) संबंध $R$,$N 	imes N$ पर $(a, b) R (c, d) \iff ad(b + c) = bc(a + d)$ के रूप में परिभाषित है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $(a, b) \in N 	imes N$ के लि

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एक तुल्यता संबंध

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(D) संबंध $R$,$N 	imes N$ पर $(a, b) R (c, d) \iff ad(b + c) = bc(a + d)$ के रूप में परिभाषित है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $(a, b) \in N 	imes N$ के लिए,$ab(b + a) = ba(a + b)$ होता है,जो सत्य है। अतः,$(a, b) R (a, b)$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममित: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$। तो $ad(b + c) = bc(a + d)$। इसका अर्थ है $bc(a + d) = ad(b + c)$,जिसे $cb(d + a) = da(c + b)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$(c, d) R (a, b)$। इसलिए,$R$ सममित है।$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ और $(c, d) R (e, f)$। तो $ad(b + c) = bc(a + d)$ और $cf(d + e) = de(c + f)$।क्रमशः $abcd$ और $cdef$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{b+c}{bc} = \frac{a+d}{ad} \implies \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \implies \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$ प्राप्त होता है।इसी प्रकार,$\frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f}$।अतः,$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{e} + \frac{1}{b} \implies \frac{a+f}{af} = \frac{b+e}{be} \implies af(b + e) = be(a + f)$।अतः,$(a, b) R (e, f)$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

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