मान लीजिए f(x) = frac{1}{x} ln left( frac{x}{ | vedclass

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Question

(A) हमें $f(x) = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{x}{e^x} \right)$ दिया गया है।आदिम (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करने के लिए,हम $\int f(x) \, dx = \int \frac{1

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$\frac{1}{2} \ln^2 x - x + C$

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(A) हमें $f(x) = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{x}{e^x} \right)$ दिया गया है।आदिम (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करने के लिए,हम $\int f(x) \, dx = \int \frac{1}{x} \ln \left( \frac{x}{e^x} \right) \, dx$ की गणना करते हैं।लघुगणक के गुण $\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b$ का उपयोग करने पर:$\int \frac{1}{x} (\ln x - \ln e^x) \, dx = \int \frac{\ln x - x}{x} \, dx$ प्राप्त होता है।यह $\int \left( \frac{\ln x}{x} - 1 \right) \, dx$ में सरल हो जाता है।समाकलन को अलग करने पर: $\int \frac{\ln x}{x} \, dx - \int 1 \, dx$।पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = \ln x$,तो $du = \frac{1}{x} \, dx$। समाकलन $\int u \, du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\ln x)^2}{2}$ हो जाता है।दूसरे भाग के लिए,$\int 1 \, dx = x$।इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\frac{1}{2} \ln^2 x - x + C$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{x}{e^x} \right)$,तो $x$ के सापेक्ष इसका आदिम (primitive) क्या होगा?

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मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)$ और $g(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}\right)$ है। तो,$\int (f(x) + g(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int {e^{\log (\sin x)}} \, dx = $

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