मान लीजिए y = g(x) एक बाइजेक्टिव मैपिंग f : R | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = 3x^3 + 2x$। हमें $g(x)$,$x-$अक्ष और रेखा $x = 5$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए

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$\frac{13}{4}$

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(D) दिया गया है $f(x) = 3x^3 + 2x$। हमें $g(x)$,$x-$अक्ष और रेखा $x = 5$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $x=0$ से $x=5$ तक $g(x)$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल,$y=0$ से $y=5$ तक $f(x)$ और $y-$अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर होगा। सबसे पहले,$x$ का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए $f(x) = 5$ है: $3x^3 + 2x = 5 \implies 3x^3 + 2x - 5 = 0$। निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $3(1)^3 + 2(1) - 5 = 0$। क्षेत्रफल $\int_{0}^{5} g(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है। प्रतिलोम फलनों के गुण का उपयोग करते हुए,$\int_{0}^{a} g(x) \, dx + \int_{0}^{g(a)} f(x) \, dx = a \cdot g(a)$। यहाँ $a = 5$ और $g(5) = 1$ है। अतः,$\int_{0}^{5} g(x) \, dx + \int_{0}^{1} (3x^3 + 2x) \, dx = 5 \cdot 1 = 5$। $\int_{0}^{1} (3x^3 + 2x) \, dx = [\frac{3x^4}{4} + x^2]_{0}^{1} = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$। इसलिए,अभीष्ट क्षेत्रफल $5 - \frac{7}{4} = \frac{20 - 7}{4} = \frac{13}{4}$ है।

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