मान लीजिए f(x) = x^3 + 8x + 3 है। अवकलज (deri | vedclass

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Question

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या किसी फलन $f(x)$ का प्रतिलोम मौजूद है,हम जांचते हैं कि क्या यह सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) है (या तो सख्

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$f'(x)$ हमेशा धनात्मक है।

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(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या किसी फलन $f(x)$ का प्रतिलोम मौजूद है,हम जांचते हैं कि क्या यह सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) है (या तो सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है)।दिया गया है $f(x) = x^3 + 8x + 3$।अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 8x + 3) = 3x^2 + 8$ है।चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $3x^2 \ge 0$ होगा।अतः,$f'(x) = 3x^2 + 8 \ge 8$ प्राप्त होता है।चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अपने पूरे प्रांत पर सख्ती से बढ़ रहा है।एक सख्ती से एकदिष्ट फलन हमेशा एकैकी (injective) होता है और इसलिए इसका प्रतिलोम मौजूद होता है।अतः,यह गुण कि $f'(x)$ हमेशा धनात्मक है,हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि $f(x)$ का प्रतिलोम मौजूद है।

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