मान लीजिए f(x) = begin{cases} frac{1 + cos 2p | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} f(x) = f(\frac{1}{2}) = p$ होना चाहि

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$p \in R - \{4\}$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} f(x) = f(\frac{1}{2}) = p$ होना चाहिए।सबसे पहले,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} \frac{2 \cos^2 \pi x}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} \frac{2(1 - \sin^2 \pi x)}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} 2(1 + \sin \pi x) = 2(1 + 1) = 4$.इसके बाद,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:मान लीजिए $t = \sqrt{2x - 1}$ है। जैसे $x 	o \frac{1}{2}^+$,वैसे $t 	o 0^+$.$\lim_{t 	o 0^+} \frac{t}{\sqrt{4 + t} - 2} = \lim_{t 	o 0^+} \frac{t(\sqrt{4 + t} + 2)}{(4 + t) - 4} = \lim_{t 	o 0^+} (\sqrt{4 + t} + 2) = \sqrt{4} + 2 = 4$.चूंकि $\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} f(x) = 4$ है,इसलिए फलन $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होगा यदि $p = 4$ हो।अतः,$f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत होगा यदि $p 
eq 4$ हो,जिसका अर्थ है $p \in R - \{4\}$।

$A$. $\|x\| + \|x - 2\|$	$I$. $x = 2$ पर दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ मौजूद नहीं है।
$B$. $\text{cosech } x$	$II$. केवल गैर-शून्य वास्तविक मानों के लिए सतत है।
$C$. $x - [x]$	$III$. सभी वास्तविक $x$ के लिए सीमा शून्य है।
$D$. $\sqrt{2 - x}$	$IV$. सभी वास्तविक $x$ के लिए सतत है।
	$V$. सभी पूर्णांक मानों पर असतत है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x}, & x < \frac{1}{2} \\ p, & x = \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 + \sqrt{2x - 1}} - 2}, & x > \frac{1}{2} \end{cases}$ है। यदि $f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत है,तो:

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यदि $f(x) = \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$,$x \neq \pi$ के लिए $x = \pi$ पर सतत है,तो $f(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} a|\pi - x| + 1, & x \le 5 \\ b|\pi - x| + 3, & x > 5 \end{cases}$ बिंदु $x = 5$ पर सतत है,तो $a - b$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f$ के सभी असंततता के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$

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