मान लीजिए कि एक वक्र y=f(x) बिंदु (2, (ln 2)^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x \ln x}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{2 dx}{x \ln x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x \ln x}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{2 dx}{x \ln x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{2}{x \ln x} dx$.मान लीजिए $u = \ln x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन करने पर: $\ln |y| = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \ln |u| + C = 2 \ln |\ln x| + C$.अतः,$\ln |y| = \ln |(\ln x)^2| + C$,जिसका अर्थ है $y = k(\ln x)^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।चूंकि वक्र बिंदु $(2, (\ln 2)^2)$ से गुजरता है,$x=2$ और $y=(\ln 2)^2$ रखने पर:$(\ln 2)^2 = k(\ln 2)^2 \Rightarrow k = 1$.इस प्रकार,फलन $f(x) = (\ln x)^2$ है।$f(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखने पर: $f(e) = (\ln e)^2 = (1)^2 = 1$.

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