ધારો કે f : R to R એ f(x) = ln(x + sqrt{x^2 + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $e^y - e^{-y} = 2x$,જે સૂચવે છે કે $x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh(y)$.આમ,$f^{-1}(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.આપણે $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $|\sinh(x)| = e^{-|x|}$ છે.બંને બાજુઓ યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,આપણે $x \ge 0$ માટે ચકાસી શકીએ: $\sinh(x) = e^{-x}$.$x = 0$ આગળ,$\sinh(0) = 0$ અને $e^0 = 1$,તેથી $0 
eq 1$.જેમ $x$ વધે છે,$\sinh(x)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી ચુસ્ત રીતે વધે છે,અને $e^{-x}$ એ $1$ થી $0$ સુધી ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.તેથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદનબિંદુ મળે છે.સંમિતિ દ્વારા,$x આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $f : R \to R$ એ $f(x) = x^2 + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f^{-1}(17)$ અને $f^{-1}(-3)$ શું થાય?

ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{1, 3, 5\}$. એક સંબંધ $R: A \to B$ એ $R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 1)\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો ${R^{-1}}$ નીચેનામાંથી કયું છે?

ધારો કે $f$ અને $g$ એ બે વિકલનીય વિધેયો છે જે $g^{\prime}(5)=\frac{3}{4}$, $g(5)=6$ અને $g=f^{-1}$ નું પાલન કરે છે. તો $f^{\prime}(6)$ ની કિંમત શોધો.

$f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(1) = a, f(2) = b$ અને $f(3) = c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $f^{-1}$ શોધો અને સાબિત કરો કે $(f^{-1})^{-1} = f$.

ધારો કે વિધેય $f$ એ $f(x) = \frac{2x + 1}{1 - 3x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો $f^{-1}(x)$ શું થશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module