$f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(1) = a, f(2) = b$ અને $f(3) = c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $f^{-1}$ શોધો અને સાબિત કરો કે $(f^{-1})^{-1} = f$.

(N/A) વિધેય $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ એ $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે વિધેય $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ ને $g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
આપણે સંયોજનો તપાસીએ:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(2) = b$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(3) = c$
આમ,$f \circ g = I_Y$,જ્યાં $Y = \{a, b, c\}$.
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3$
આમ,$g \circ f = I_X$,જ્યાં $X = \{1, 2, 3\}$.
કારણ કે $f \circ g = I_Y$ અને $g \circ f = I_X$,તેથી $f$ નું વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $f^{-1} = g$.
તેથી,$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ એ $f^{-1}(a) = 1, f^{-1}(b) = 2, f^{-1}(c) = 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
હવે,$(f^{-1})^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $g$ નું વ્યસ્ત શોધીએ છીએ. ધારો કે $h: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ એ $h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે સંયોજનો તપાસીએ:
$(g \circ h)(1) = g(h(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ h)(3) = g(h(3)) = g(c) = 3$
આમ,$g \circ h = I_X$.
$(h \circ g)(a) = h(g(a)) = h(1) = a$
$(h \circ g)(b) = h(g(b)) = h(2) = b$
$(h \circ g)(c) = h(g(c)) = h(3) = c$
આમ,$h \circ g = I_Y$.
કારણ કે $g \circ h = I_X$ અને $h \circ g = I_Y$,તેથી $g$ નું વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $g^{-1} = h$. કારણ કે $g = f^{-1}$,તેથી $(f^{-1})^{-1} = h$. કારણ કે $h = f$,તેથી સાબિત થાય છે કે $(f^{-1})^{-1} = f$.