$f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ पर विचार करें जो $f(1) = a, f(2) = b$ और $f(3) = c$ द्वारा दिया गया है। $f^{-1}$ ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि $(f^{-1})^{-1} = f$ है।

(N/A) फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ को $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$f^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम एक फलन $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3$ के रूप में परिभाषित करते हैं।
हम संयोजनों की जाँच करते हैं:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(2) = b$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(3) = c$
अतः,$f \circ g = I_Y$,जहाँ $Y = \{a, b, c\}$ है।
$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3$
अतः,$g \circ f = I_X$,जहाँ $X = \{1, 2, 3\}$ है।
चूँकि $f \circ g = I_Y$ और $g \circ f = I_X$,इसलिए $f$ का प्रतिलोम (inverse) मौजूद है और $f^{-1} = g$ है।
अतः,$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $f^{-1}(a) = 1, f^{-1}(b) = 2, f^{-1}(c) = 3$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
अब,$(f^{-1})^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम $g$ का प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। मान लीजिए $h: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ को $h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम संयोजनों की जाँच करते हैं:
$(g \circ h)(1) = g(h(1)) = g(a) = 1$
$(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(b) = 2$
$(g \circ h)(3) = g(h(3)) = g(c) = 3$
अतः,$g \circ h = I_X$ है।
$(h \circ g)(a) = h(g(a)) = h(1) = a$
$(h \circ g)(b) = h(g(b)) = h(2) = b$
$(h \circ g)(c) = h(g(c)) = h(3) = c$
अतः,$h \circ g = I_Y$ है।
चूँकि $g \circ h = I_X$ और $h \circ g = I_Y$,इसलिए $g$ का प्रतिलोम मौजूद है और $g^{-1} = h$ है। चूँकि $g = f^{-1}$,इसलिए $(f^{-1})^{-1} = h$ है। चूँकि $h = f$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $(f^{-1})^{-1} = f$ है।