n = 1, 2, ldots, 50 के लिए,मान लीजिए S_{n} उस | vedclass

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Question

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।यहाँ $a = n^{2}$ और $r = \frac{1}{(n+1)^{2}}$ है,इसलिए $S_{n} = \frac{n^{2}}{1 - \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$41651$

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(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।यहाँ $a = n^{2}$ और $r = \frac{1}{(n+1)^{2}}$ है,इसलिए $S_{n} = \frac{n^{2}}{1 - \frac{1}{(n+1)^{2}}} = \frac{n(n+1)^{2}}{n+2}$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $S_{n} = n^{2} + 1 - \frac{2}{n+2}$ मिलता है।अब योग में मान रखने पर: $\sum_{n=1}^{50} (n^{2} - n + 2(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}))$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\sum_{n=1}^{50} n^{2} - \sum_{n=1}^{50} n) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{52})$.गणना करने पर $41650 + \frac{25}{26}$ प्राप्त होता है।$\frac{1}{26}$ जोड़ने पर,अंतिम उत्तर $41651$ है।

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यदि योग $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ $20$ पदों तक $\frac{k}{21}$ के बराबर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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