मान लीजिए कि (3+6x)^{n} के द्विपद विस्तार में | vedclass

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Question

(A) सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} (6x)^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} x^{r}$ है।$x = \frac{3}{2}$ के लिए,$T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6

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$24$

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(A) सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} (6x)^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} x^{r}$ है।$x = \frac{3}{2}$ के लिए,$T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} (\frac{3}{2})^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n+r}$ होता है।चूंकि $T_{9}$ सबसे बड़ा पद है,इसलिए $T_{9} \ge T_{10}$ और $T_{9} \ge T_{8}$ होगा।$\frac{T_{9}}{T_{10}} \ge 1$ से,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{9} 3^{n+9}} \ge 1 \implies n \le 11$ प्राप्त होता है।$\frac{T_{9}}{T_{8}} \ge 1$ से,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{7} 3^{n+7}} \ge 1 \implies n \ge 9.66$ प्राप्त होता है।अतः,न्यूनतम पूर्णांक $n_{0} = 10$ है।$n=10$ के लिए,विस्तार $(3+6x)^{10}$ है।$x^{6}$ का गुणांक ${}^{10}C_{6} 3^{4} 6^{6} = 210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}$ है।$x^{3}$ का गुणांक ${}^{10}C_{3} 3^{7} 6^{3} = 120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}$ है।अनुपात $k = \frac{210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}}{120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}} = 14$ प्राप्त होता है।इसलिए,$k + n_{0} = 14 + 10 = 24$।

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