$(y^{-1/6} - y^{1/3})^9$ के विस्तार में $y$ से स्वतंत्र पद है

$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right)^{18}, x > 0$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए।

$x$ का एक संभावित मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के विस्तार में $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में नौवां पद $180$ के बराबर है।

यदि $(x + 1)^n$ के द्विपद विस्तार में $x$ की घातों में तीन क्रमागत गुणांकों का अनुपात $2 : 15 : 70$ है,तो इन तीन गुणांकों का औसत क्या है?

यदि $\left(ax^2+\frac{1}{2bx}\right)^{11}$ में $x^7$ का गुणांक और $\left(ax-\frac{1}{3bx^2}\right)^{11}$ में $x^{-7}$ का गुणांक समान हैं,तो

एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$(1+\frac{1}{x})^n$ का विस्तार $x$ की बढ़ती घातों में किया जाता है। यदि इस विस्तार में तीन क्रमागत गुणांकों का अनुपात $2:5:12$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।