मान लीजिए n और k ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ के हलों की संख्या,जहाँ $x_i \ge i$ है,$(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ के गुणनफल में $t

Vedclass · Accepted Answer

$^mC_{k-1}$

Vedclass · Answer

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ के हलों की संख्या,जहाँ $x_i \ge i$ है,$(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ के गुणनफल में $t^n$ का गुणांक है।यह $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ में $t^n$ का गुणांक है।मान लीजिए $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$ है।यह व्यंजक $(1-t)^{-k}$ में $t^{n-r}$ का गुणांक बन जाता है।द्विपद विस्तार $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ का उपयोग करते हुए,$t^{n-r}$ का गुणांक $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ है।मान लीजिए $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$ है।अतः,हलों की संख्या $\binom{m}{k-1}$ है।

Similar Questions

$r$ का वह मान जिसके लिए $^{15}C_{r+3} = ^{15}C_{2r-6}$ है,वह है

एक परीक्षक $8$ प्रश्नों को $30$ अंक कितने तरीकों से आवंटित कर सकता है,यदि प्रत्येक प्रश्न को कम से कम $2$ अंक देने हों?

$5$ व्यंजनों और $5$ स्वरों में से,$3$ व्यंजनों और $2$ स्वरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module