मान लीजिए कि रेखाओं x+2=y-1=z,frac{x-3}{5}=fr | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए रेखाएं इस प्रकार हैं:$L_1: x+2=y-1=z=\ell$$L_2: \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}=m$$L_3: \frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1

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$56$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए रेखाएं इस प्रकार हैं:$L_1: x+2=y-1=z=\ell$$L_2: \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}=m$$L_3: \frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}=n$$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\ell-2=5m+3, \ell+1=-m, \ell=m+1$. हल करने पर $\ell=0, m=-1$ प्राप्त होता है। बिंदु $A = (-2, 1, 0)$ है।$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$निर्देशांकों की तुलना करने पर: $5m+3=-3n, -m=3n+3, m+1=n+2$. हल करने पर $m=0, n=-1$ प्राप्त होता है। बिंदु $B = (3, 0, 1)$ है।$L_3$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$निर्देशांकों की तुलना करने पर: $-3n=\ell-2, 3n+3=\ell+1, n+2=\ell$. हल करने पर $\ell=2, n=0$ प्राप्त होता है। बिंदु $C = (0, 3, 2)$ है।$	riangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{AB} 	imes \vec{AC}|$$\vec{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$$\vec{AC} = (0 - (-2))\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$$\vec{AB} 	imes \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 5 & -1 & 1 \ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-2) - \hat{j}(10-2) + \hat{k}(10+2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 12\hat{k}$क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{224} = \sqrt{56}$$A^2 = 56$.

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यदि $\bar{r} = 2 \hat{i} + \lambda(\hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k})$ और $\bar{r} = \hat{i} + \mu(2 \hat{i} + \hat{j} + 6 \hat{k})$ द्वारा दी गई रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{-1}$ और $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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