माना वृत्त S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 | vedclass

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Question

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। चूंकि वृत्त धनात्मक $X$ और $Y$ अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या

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(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। चूंकि वृत्त धनात्मक $X$ और $Y$ अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ होगी, जहाँ $r > 0$ है। अतः, समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ हो जाता है, जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ बनता है। इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $g = -r$ और $f = -r$ प्राप्त होता है। चूंकि बिंदु $(2, 4)$ वृत्त पर स्थित है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $(2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$ $4 - 4r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$ $r^2 - 12r + 20 = 0$ $(r - 10)(r - 2) = 0$ अतः, दो संभावित त्रिज्याएँ $r_1 = 10$ और $r_2 = 2$ हैं। दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल $A_1 = \pi(10)^2 = 100\pi$ और $A_2 = \pi(2)^2 = 4\pi$ हैं। उनके क्षेत्रफलों का अंतर $100\pi - 4\pi = 96\pi$ है।

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