ધારો કે અંકો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે. આ ત્રણ અંકોમાંથી દરેકનો ત્રણ વાર ઉપયોગ કરીને નવ-અંકની સંખ્યાઓ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેથી ત્રણ ક્રમિક અંકો ઓછામાં ઓછી એક વાર $A.P.$ માં હોય. આવી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ જો $n$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા હોય,તો $n$ એ $(n-1)!$ ને ભાગે છે.
$II.$ એવી અનંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેના માટે $n^3+2n^2+n$ એ $n!$ ને ભાગે છે.

ત્રણ વ્યક્તિઓ $A, B, C$ જેની પાસે અનુક્રમે $6, 7$ અને $8$ એક રૂપિયાના સિક્કા છે,તેઓ સામૂહિક રીતે $₹ 10$ નું દાન કેટલી અલગ અલગ રીતે કરી શકે?

એક પ્રશ્નપત્રમાં ત્રણ વિભાગો છે,દરેક વિભાગમાં $4$ પ્રશ્નો છે. જો ઉમેદવારે કોઈ પણ વિભાગ છોડ્યા વગર આ પ્રશ્નપત્રમાંથી માત્ર $5$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના હોય,તો ઉમેદવાર કેટલી રીતે પ્રશ્નોની પસંદગી કરી શકે?

ધારો કે $m$ (અનુક્રમે $n$) એ $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે (અનુક્રમે પુનરાવર્તન વગર) બનતી $5$-અંકી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,જેથી કોઈપણ બે પાસપાસેના અંકોનો સરવાળો એકી સંખ્યા થાય. તો $\frac{m}{n}$ ની કિંમત શોધો.

$7$ બેટ્સમેન અને $6$ બોલરોના જૂથમાંથી,$10$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન અને ઓછામાં ઓછા $4$ બોલર હોવા જોઈએ. એક બેટ્સમેન અને એક બોલર,જેઓ અનુક્રમે ટીમના કેપ્ટન અને વાઇસ-કેપ્ટન છે,તેમને સામેલ કરવાના છે. તો આવી પસંદગી કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?