मान लीजिए कि फलन f: R rightarrow R को f(x)=x- | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = x - x^2 + (x - 1) \sin x = -(x - 1)^2 + (x - 1) \sin x = (x - 1) [-(x - 1) + \sin x]$.ध्यान दें कि $f(1) = 0$ है।साथ ही,$f'(x)

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$A, C$

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(D) दिया गया है $f(x) = x - x^2 + (x - 1) \sin x = -(x - 1)^2 + (x - 1) \sin x = (x - 1) [-(x - 1) + \sin x]$.ध्यान दें कि $f(1) = 0$ है।साथ ही,$f'(x) = 1 - 2x + \sin x + (x - 1) \cos x$ है। अतः,$f'(1) = 1 - 2 + \sin 1 + 0 = \sin 1 - 1$ है।मान लीजिए $h(x) = (fg)(x) = f(x)g(x)$ है।$x=1$ पर अवकलनीयता के लिए,हम $h'(1) = \lim_{k 	o 0} \frac{f(1+k)g(1+k) - f(1)g(1)}{k} = \lim_{k 	o 0} \frac{f(1+k)g(1+k)}{k}$ की जाँच करते हैं।चूंकि $f(1+k) = k(-k + \sin(1+k))$ है,सीमा $\lim_{k 	o 0} \frac{k(-k + \sin(1+k))g(1+k)}{k} = \lim_{k 	o 0} (-k + \sin(1+k))g(1+k) = \sin(1) \cdot g(1)$ हो जाती है।यदि $g$,$x=1$ पर सतत है,तो $g(1+k) 	o g(1)$,इसलिए सीमा का अस्तित्व है। अतः,$(A)$ सत्य है।यदि $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो यह सतत भी है,इसलिए $(C)$ सत्य है।यदि $fg$ अवकलनीय है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $g$ सतत या अवकलनीय है। अतः,$(B)$ और $(D)$ असत्य हैं।इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

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फलन $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb{Q} \\ x^2 - 2x + 5, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ है

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