फलन f(x) = begin{cases} 2x + 1, & x in mathbb | vedclass

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Question

(D) जब फलन $f(x) = g(x)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = h(x)$ जब $x 
otin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित हो,तो फलन $x = a$ पर सतत होता है यदि और क

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केवल एक बिंदु पर अवकलनीय और सतत है और अन्यत्र असतत है

Vedclass · Answer

(D) जब फलन $f(x) = g(x)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = h(x)$ जब $x 
otin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित हो,तो फलन $x = a$ पर सतत होता है यदि और केवल यदि $g(a) = h(a)$ हो।यहाँ,$g(x) = 2x + 1$ और $h(x) = x^2 - 2x + 5$ है।$g(x) = h(x)$ रखने पर,$2x + 1 = x^2 - 2x + 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 4 = 0$ या $(x - 2)^2 = 0$ हो जाता है।अतः,$x = 2$ ही एकमात्र बिंदु है जहाँ फलन सतत है।$x = a$ पर अवकलनीयता के लिए,फलन को $x = a$ पर सतत होना चाहिए और अवकलजों को $g'(a) = h'(a)$ को संतुष्ट करना चाहिए।यहाँ,$g'(x) = 2$ और $h'(x) = 2x - 2$ है।$x = 2$ पर,$g'(2) = 2$ और $h'(2) = 2(2) - 2 = 2$ प्राप्त होता है।चूँकि $g'(2) = h'(2)$ है,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय है।अतः,फलन केवल $x = 2$ पर सतत और अवकलनीय है और अन्यत्र असतत है।

फलन $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb{Q} \\ x^2 - 2x + 5, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ है

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यदि $f(x) = \begin{cases} x[x], & 0 \le x < 2 \\ (x-1)[x], & 2 \le x \le 4 \end{cases}$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो:

$0 \le x \le 1$ के लिए $f(x) = \max \{x^2, (x - 1)^2, 2x(1 - x)\}$ द्वारा परिभाषित फलन:

फलन $f(x) = \begin{cases} e^x + ax, & x < 0 \\ b(x - 1)^2, & x \geq 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है। तो

$x = k$ पर $f(x) = [x]\sin(\pi x)$ का बायां अवकलज ज्ञात कीजिए,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है और $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन $\le x$ को दर्शाता है।

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