मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ और दीर्घवृत्त $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ इस प्रकार हैं कि $H$ के नाभिलंब की लंबाई $E$ के नाभिलंब की लंबाई के बराबर है। यदि $e_H$ और $e_E$ क्रमशः $H$ और $E$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $12(e_H^2 + e_E^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $e_1$ और $e_2$ समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के दो भिन्न मूल हैं।  मान लीजिए समुच्चय $S_1 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं} \} = (\alpha, \beta),$ और  $S_2 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ क्रमशः दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं} \} = (\gamma, \infty)।$ तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $e_1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ की उत्केंद्रता है और $e_2$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ की उत्केंद्रता है,जो अतिपरवलय की नाभियों से होकर गुजरता है। यदि $e_1 e_2=1$ है,तो $x$-अक्ष के समानांतर और $(0,2)$ से गुजरने वाली दीर्घवृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए:

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P$ पर अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलता है,और यदि $PQ$ तथा $Q$ पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ कोण बनाते हैं,तो $\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)$ का मान क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के किसी भी स्पर्श रेखा पर केंद्र से खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केन्द्रता,अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम है। यदि दीर्घवृत्त अतिपरवलय को समकोण पर काटता है,तो दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का वर्ग $................$ है।