मान लीजिए कि रेखा frac{x}{1}=frac{y-1}{2}=fra | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}=\lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M = (\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda)$ है।मान लीजिए $

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$(3,4,3-2 \sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}=\lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M = (\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda)$ है।मान लीजिए $P = (1,0,7)$ है। सदिश $\overrightarrow{PM} = (\lambda-1, 1+2\lambda, 3\lambda-5)$ है।चूंकि $\overrightarrow{PM}$ रेखा $L_1$ (जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = (1,2,3)$ है) के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{PM} \cdot \vec{b} = 0$ होगा।$(\lambda-1)(1) + (1+2\lambda)(2) + (3\lambda-5)(3) = 0 \Rightarrow \lambda-1+2+4\lambda+9\lambda-15 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$ है।अतः,$M = (1, 3, 5)$ है।चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,जहाँ $Q = (\alpha, \beta, \gamma)$,तो $M = \frac{P+Q}{2} \Rightarrow Q = 2M - P = 2(1,3,5) - (1,0,7) = (1,6,3)$ है।अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (1,6,3)$ है।मान लीजिए अभीष्ट रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं। दिया गया है कि $m = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $n = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।$l^2+m^2+n^2=1$ होने के कारण,$l^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{4}$ है।चूंकि रेखा $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है,इसलिए $l = \frac{1}{2}$ है।रेखा $(1,6,3)$ से गुजरती है और इसकी दिशा $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जिसे $(1, -1, -\sqrt{2})$ के रूप में लिखा जा सकता है।रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-3}{-\sqrt{2}} = \mu$ है।$\mu = 2$ के लिए,$x = 3, y = 4, z = 3-2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। जो विकल्प $C$ के साथ मेल खाता है।

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उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्कोज्याएँ समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करती हैं।

रेखाओं $\overline{r}=(2 \hat{i}-\hat{j})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k})$ और $\overline{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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