मान लीजिए कि अतिपरवलय frac{x^2}{9}-frac{y^2}{ | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब नाभि $(ae, 0)$ से गुजरता है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{

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$182$

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(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब नाभि $(ae, 0)$ से गुजरता है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।केंद्र $(0, 0)$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।समकोण त्रिभुज के लिए,केंद्र पर कोण $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ होगा।अतः,$	an 30^{\circ} = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.यहाँ $a^2 = 9$ है,इसलिए $a = 3$ है। अतः,$\frac{b^2}{9e} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b^2 = 3\sqrt{3}e$.हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{9} \Rightarrow b^2 = 9(e^2 - 1)$.दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $9(e^2 - 1) = 3\sqrt{3}e \Rightarrow 3e^2 - \sqrt{3}e - 3 = 0$.$e$ के लिए हल करने पर: $e = \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$.अतः $b^2 = 3\sqrt{3} \left( \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}} ight) = \frac{3}{2}(1 + \sqrt{13})$.तुलना करने पर $l=3, m=2, n=13$ प्राप्त होता है।अतः,$l^2+m^2+n^2 = 3^2 + 2^2 + 13^2 = 9 + 4 + 169 = 182$.

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