ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b)$ ની નાભિલંબની લંબાઈ $30$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા વિધેય $f(t)=-\frac{3}{4}+2t-t^{2}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હોય, તો $(a^{2}+b^{2})$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય જેના અક્ષો યામ અક્ષો છે અને તેનો મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષ પર છે,તે બિંદુ $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ છે. તો તેનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$. ધારો કે $E_{2}$ એ બીજો ઉપવલય છે જે $E_{1}$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓને સ્પર્શે છે અને $E_{2}$ ના નાભિઓ એ $E_{1}$ ની ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $E_{1}$ અને $E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ સમાન હોય,તો $e$ નું મૂલ્ય શોધો:

ઉપવલય $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ નું કેન્દ્ર શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે. તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $25x^2 + 16y^2 = 400$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.