माना रेखा ell: x = frac{1-y}{-2} = frac{z-3}{ | vedclass

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Question

(A) रेखा $\ell$ को $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ के रूप में लिखा जा सकता है।रेखा $\ell$ के दिक अनुपात $(1, 2, \lambda)$ हैं।समतल $P: x + 2

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$11$

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(A) रेखा $\ell$ को $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ के रूप में लिखा जा सकता है।रेखा $\ell$ के दिक अनुपात $(1, 2, \lambda)$ हैं।समतल $P: x + 2y + 3z = 4$ के अभिलंब सदिश के दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।रेखा और समतल के बीच का कोण $	heta$ के लिए $\sin 	heta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ $\vec{v} = (1, 2, \lambda)$ है।दिया गया है $\cos 	heta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\sin 	heta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$।$\frac{|1(1) + 2(2) + 3(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$।$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow |5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2) \Rightarrow 25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2 \Rightarrow 30\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$।रेखा पर कोई भी बिंदु $(t, 2t + 1, \frac{2}{3}t + 3)$ है। चूंकि यह समतल $x + 2y + 3z = 4$ पर स्थित है:$t + 2(2t + 1) + 3(\frac{2}{3}t + 3) = 4 \Rightarrow t + 4t + 2 + 2t + 9 = 4 \Rightarrow 7t = -7 \Rightarrow t = -1$।बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (-1, -1, \frac{7}{3})$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + 2\beta + 6\gamma = -1 + 2(-1) + 6(\frac{7}{3}) = -1 - 2 + 14 = 11$।

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यदि बिंदु $P(1, -2, 3)$ का समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ में रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समांतर मापा गया प्रतिबिंब $Q$ है,तो $PQ$ का मान ज्ञात कीजिए:

रेखा $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+\hat{j})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})=8$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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