मान लीजिए कि रेखाएं frac{x-1}{lambda}=frac{y- | vedclass

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Question

(D) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए।$L_1$ पर बिंदु $A(1, 2, 3)$

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$(0,4,5)$

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(D) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए।$L_1$ पर बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $L_2$ पर बिंदु $B(-26, -18, -28)$ दिए गए हैं।सदिश $\vec{AB} = (-27, -20, -31)$ है।समतलीयता की शर्त $\begin{vmatrix} -27 & -20 & -31 \ \lambda & 1 & 2 \ -2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ है।सारणिक का विस्तार करने पर: $-27(\lambda - 6) + 20(\lambda^2 + 4) - 31(3\lambda + 2) = 0$.$-27\lambda + 162 + 20\lambda^2 + 80 - 93\lambda - 62 = 0 \Rightarrow 20\lambda^2 - 120\lambda + 180 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)^2 = 0$.अतः,$\lambda = 3$ है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (3, 1, 2)$ और $\vec{v_2} = (-2, 3, 3)$ का क्रॉस गुणनफल है।$\vec{n} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 1 & 2 \ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 13\hat{j} + 11\hat{k}$ है।समतल का समीकरण $-3(x-1) - 13(y-2) + 11(z-3) = 0 \Rightarrow 3x + 13y - 11z + 4 = 0$ है।बिंदुओं की जाँच करने पर:$(0, 4, 5)$ के लिए: $3(0) + 13(4) - 11(5) + 4 = 52 - 55 + 4 = 1 
eq 0$ है।अतः,बिंदु $(0, 4, 5)$ समतल $P$ पर स्थित नहीं है।

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