मान लीजिए कि आर्गंड समतल में एक बिंदु z का बि | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $z=x+iy$, तब $z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i(2xy)$.$C_1$ के लिए, $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2=4$ $(i)$.$C_2$ के लिए, $\operatorname{Im}(z^2

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$2$

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(D) मान लीजिए $z=x+iy$, तब $z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i(2xy)$.$C_1$ के लिए, $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2=4$ $(i)$.$C_2$ के लिए, $\operatorname{Im}(z^2)=2xy=4 \Rightarrow xy=2$ $(ii)$.$(ii)$ से, $y=\frac{2}{x}$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 4 \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 4$.मान लीजिए $t=x^2$ $(t > 0)$: $t - \frac{4}{t} = 4 \Rightarrow t^2 - 4t - 4 = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.चूंकि $t=x^2 > 0$, इसलिए $t = 2+2\sqrt{2}$ होगा।अतः, $x^2 = 2+2\sqrt{2}$, जो $x$ के दो वास्तविक मान देता है $(x = \pm \sqrt{2+2\sqrt{2}})$.प्रत्येक $x$ के लिए, $y = \frac{2}{x}$ का एक अद्वितीय वास्तविक मान प्राप्त होता है।इसलिए, $2$ उभयनिष्ठ बिंदु हैं।

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