ધારો કે ગણ $A$ અને $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા અનુક્રમે $5$ અને $2$ છે. તો $A \times B$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધો જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અને વધુમાં વધુ $6$ ઘટકો હોય:

વિધેય $f(x) = \log_{[x + \frac{1}{x}]} |x^2 - x - 6| + ^{16-x}C_{2x-1} + ^{20-3x}P_{2x-5}$ નો પ્રદેશ શોધો,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

રૂમમાં દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે હાથ મિલાવે છે. હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા $66$ છે. તો રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા કેટલી હશે?

જો એક પ્રશ્નપત્રમાં $11$ પ્રશ્નો હોય જે બે વિભાગ $I$ અને $II$ માં વહેંચાયેલા હોય. વિભાગ $I$ માં $6$ પ્રશ્નો અને વિભાગ $II$ માં $5$ પ્રશ્નો હોય,તો વિદ્યાર્થી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરે,દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો લે,તો તે કેટલી રીતે કરી શકાય?

$8$ સમાન પુસ્તકોને $4$ સમાન છાજલીઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા,જ્યાં કોઈપણ સંખ્યામાં છાજલીઓ ખાલી રહી શકે છે,તે કેટલી છે?

જો $^nC_r = 84$,$^nC_{r-1} = 36$,અને $^nC_{r+1} = 126$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.