मान लीजिए कि बिंदु P आर्गंड समतल में z=x+iy क | vedclass

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Question

(D) शर्त $(i)$ के लिए, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.इसके शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, वास्तविक भाग श

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$\left(\frac{5}{37},-\frac{30}{37}\right)$

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(D) शर्त $(i)$ के लिए, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.इसके शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:$\operatorname{Re}\left(\frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy} \cdot \frac{(x-2)-iy}{(x-2)-iy}\right) = 0 \implies 2x(x-2) + y(2y+1) = 0$.$2x^2 - 4x + 2y^2 + y = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y = 0$ (वृत्त $C_1$).शर्त $(ii)$ के लिए, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि $\frac{z+i}{z+1}$ धनात्मक काल्पनिक भाग के साथ शुद्ध काल्पनिक है।मान लीजिए $z+i = x+i(y+1)$ और $z+1 = (x+1)+iy$.$\frac{z+i}{z+1} = \frac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x(x+1) + y(y+1) + i((x+1)(y+1) - xy)}{(x+1)^2+y^2}$.वास्तविक भाग $x(x+1) + y(y+1) = 0 \implies x^2 + x + y^2 + y = 0$ (वृत्त $C_2$).$C_1$ और $C_2$ के समीकरणों को घटाने पर:$(x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y) - (x^2 + y^2 + x + y) = 0 \implies -3x - \frac{1}{2}y = 0 \implies y = -6x$.$y = -6x$ को $x^2 + y^2 + x + y = 0$ में रखने पर:$x^2 + 36x^2 + x - 6x = 0 \implies 37x^2 - 5x = 0$.$x(37x - 5) = 0 \implies x = 0$ या $x = \frac{5}{37}$.$x = \frac{5}{37}$ के लिए, $y = -6(\frac{5}{37}) = -\frac{30}{37}$.मूल बिंदु के अलावा प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{5}{37}, -\frac{30}{37}\right)$ है।

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