मान लीजिए कि बिंदु $P, Q$ और $R$ के स्थिति सदिश मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष क्रमशः $\overrightarrow{r_1} = 3i - 2j - k, \overrightarrow{r_2} = i + 3j + 4k$ और $\overrightarrow{r_3} = 2i + j - 2k$ हैं। तो समतल $OQR$ से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $L$ एक रेखा है जो $2 \hat{i}+3 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। मान लीजिए $P$ एक समतल है जो $-5 \hat{i}+19 \hat{j}-14 \hat{k}$ से होकर गुजरता है और $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर है। यदि $L$ समतल $P$ को बिंदु $A$ पर मिलता है, तो $A$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $P (3, -2, -9)$ से बिंदुओं $A (-1, -2, -3)$,$B (9, 3, 4)$,और $C (9, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल पर डाले गए लंब का पाद $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो मूल बिंदु से $Q$ की दूरी है:

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ निम्नलिखित सीधी रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ और $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
मान लीजिए सीधी रेखा $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $L_1$ और $L_2$ हैं,और यह $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

मान लीजिए $\lambda_1, \lambda_2$,$\lambda$ के वे मान हैं जिनके लिए बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ और $(-2, 0, 1)$ समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ से समान दूरी पर हैं। यदि $\lambda_1 > \lambda_2$ है,तो बिंदु $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1)$ की रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ से दूरी क्या है?

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है: