मान लीजिए $L$ एक रेखा है जो $2 \hat{i}+3 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। मान लीजिए $P$ एक समतल है जो $-5 \hat{i}+19 \hat{j}-14 \hat{k}$ से होकर गुजरता है और $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर है। यदि $L$ समतल $P$ को बिंदु $A$ पर मिलता है, तो $A$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, -2, 3)$ की समतल $x - y + z = 5$ से रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

समतल $2x - 3y + 6z - 11 = 0$,$X$-अक्ष के साथ $\sin^{-1}(\alpha)$ का कोण बनाता है। $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathbb{R}^3$ में,मान लीजिए $L$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। मान लीजिए कि $L$ पर स्थित सभी बिंदु दो समतलों $P_1: x+2y-z+1=0$ और $P_2: 2x-y+z-1=0$ से समान दूरी पर हैं। मान लीजिए $M$,$L$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $P_1$ पर खींचे गए लंबों के पाद का बिंदु-पथ है। निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $M$ पर स्थित है?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$

बिंदुओं $(1, 1, -1)$ और $(3, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा समतल $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ के साथ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$ का कोण बनाती है। तो $\lambda =$

रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3}$ और समतल $2x + 3y + z = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है?