ધારો કે વિકલ સમીકરણ x dy = (sqrt{x^{2}+y^{2}} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.પદોને ગોઠવતા: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ માટે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.પદોને ગોઠવતા: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} dx$.આને આ રીતે લખી શકાય: $d(\frac{y}{x}) = \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(y/x)}{\sqrt{1 + (y/x)^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$.પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} = \ln(t + \sqrt{1+t^{2}})$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}) = \ln x + C$.આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = kx$,જ્યાં $k = e^{C}$.તેથી,$y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = kx^{2}$.વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મૂકતા: $0 + \sqrt{1^{2}+0^{2}} = k(1)^{2} \Rightarrow k = 1$.વક્રનું સમીકરણ $y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2}$ છે.$x = 2, y = \alpha$ માટે: $\alpha + \sqrt{4+\alpha^{2}} = 2^{2} = 4$.$\sqrt{4+\alpha^{2}} = 4 - \alpha$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 + \alpha^{2} = 16 - 8\alpha + \alpha^{2}$.$8\alpha = 12 \Rightarrow \alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Similar Questions

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ અને પ્રારંભિક શરત $y(1) = 3$ માટે ઉકેલ વક્ર $y = y(x)$ છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) \frac{dy}{dx} = x+2y$ એ સમપરિમાણીય છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયો છે?

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો જે $y(x) = e$ નું સમાધાન કરે છે.

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y + \sin \left(\frac{y}{x}\right) = 0$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module