ધારો કે વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx} - y = sqrt | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ છે.$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.ધારો કે

Vedclass · Accepted Answer

$15$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ છે.$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} - v = \sqrt{v^2 + 16}$.$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + 16}} = \int \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|v + \sqrt{v^2 + 16}| = \ln|x| + \ln|C|$.$v + \sqrt{v^2 + 16} = Cx \Rightarrow \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 16} = Cx$.$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = Cx^2$.$y(1) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા: $3 + \sqrt{3^2 + 16(1)^2} = C(1)^2 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = C \Rightarrow C = 8$.તેથી,$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = 8x^2$.$x = 2$ માટે: $y + \sqrt{y^2 + 16(4)} = 8(4) = 32$.$y + \sqrt{y^2 + 64} = 32 \Rightarrow \sqrt{y^2 + 64} = 32 - y$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 + 64 = 1024 - 64y + y^2$.$64y = 960 \Rightarrow y = 15$.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ અને પ્રારંભિક શરત $y(1) = 3$ માટે ઉકેલ વક્ર $y = y(x)$ છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$, જ્યાં $x = 0$ અને $y = 0$ છે, તેનો ઉકેલ નીચેનામાંથી કયા વક્રને દર્શાવે છે?

$\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx - \left[\left(\frac{x}{y}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ એ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ (homogeneous differential equation) હોય,તો $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module