मान लीजिए कि फलन $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 3x + 8}$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\gcd(m, n) = 1$ है। तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए :

कथन-$I$: संख्याओं $1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4}, 5^{1/5}, 6^{1/6}, 7^{1/7}$ में से अधिकतम $3^{1/3}$ है।
कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$,$0 < x < e$ के लिए बढ़ता है और $x > e$ के लिए घटता है।

त्रिभुज $ABC$ में अंतर्निहित समांतर चतुर्भुज का अधिकतम क्षेत्रफल (यह दिया गया है कि $A$ समांतर चतुर्भुज के शीर्षों में से एक है) किसके बराबर है? (जहाँ प्रतीकों का $\Delta ABC$ में सामान्य अर्थ है)

फलन $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ के लिए,बिंदु $x=2$ है

फलन $f(x)=2|x|+|x+2|-||x+2|-2|x||$ का $x=$ पर स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम मान है।

मान लीजिए $f:[-1,1] \rightarrow R$ को $f(x)=ax^{2}+bx+c$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $x \in[-1,1]$ और $a, b, c \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(-1)=2, f^{\prime}(-1)=1$ और $x \in(-1,1)$ के लिए $f^{\prime\prime}(x)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है। यदि $f(x) \leq \alpha$ है,$x \in[-1,1],$ तो $\alpha$ का न्यूनतम मान क्या होगा?