मान लीजिए कि सदिश overrightarrow{u}_1 = hat{i | vedclass

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Question

(C) चूंकि $\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{u}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:$\left[\overrightarrow{u}_1 \o

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$12$

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(C) चूंकि $\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{u}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:$\left[\overrightarrow{u}_1 \overrightarrow{u}_2 \overrightarrow{u}_3ight] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \ 1 & b & 1 \ c & 1 & 1 \end{array}ight| = 0$सारणिक का विस्तार करने पर: $1(b-1) - 1(1-c) + a(1-bc) = 0$$b - 1 - 1 + c + a - abc = 0 \Rightarrow abc = a + b + c - 2$  $(1)$चूंकि $\overrightarrow{v}_1, \overrightarrow{v}_2, \overrightarrow{v}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:$\left[\overrightarrow{v}_1 \overrightarrow{v}_2 \overrightarrow{v}_3ight] = \left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \ a & b+c & a \ b & b & c+a \end{array}ight| = 0$$R_3 ightarrow R_3 - (R_1 + R_2)$ लागू करने पर:$\left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \ a & b+c & a \ -2a & -2c & 0 \end{array}ight| = 0$$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2a(ac - c(b+c)) + 2c(a(b+c) - ac) = 0$$-2a(ac - bc - c^2) + 2c(ab + ac - ac) = 0$$-2a^2c + 2abc + 2ac^2 + 2abc = 0$$4abc - 2a^2c + 2ac^2 = 0 \Rightarrow 2abc - a^2c + ac^2 = 0$इस समीकरण से $abc = 0$ प्राप्त होता है।$abc = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $0 = a + b + c - 2 \Rightarrow a + b + c = 2$अतः,$6(a + b + c) = 6(2) = 12$.

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उस समांतर षट्फलक (parallelopiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी सह-अंतिम कोर (coterminous edges) $\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}$ हैं।

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि मूलबिंदु और बिंदु $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 4)$ और $(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो

यदि सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ समतलीय हैं, तो $x=$

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