શ્રેણિક $A$ એ $A^2 = 2A - I$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે. તો $n \ge 2$ માટે,$A^n$ ની કિંમત શું થાય? $(n \in N)$

ધારો કે $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ એ શૂન્યતર $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જ્યાં $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$. ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$\text{trace}(M)$ એ $M$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,નીચેના વિધાનોમાંથી:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ જો trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ તો } R \text{ માં બરાબર એક શૂન્યતર ઘટક છે.}$

ધારો કે $P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I$ એ $3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો $Q=[q_{ij}]$ એવો શ્રેણિક હોય કે જેથી $P^{50}-Q=I$ થાય,તો $\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ અને $B$ બે શ્રેણિકો છે જેથી $A^{100} = 100B + I$ થાય. તો $B^{100}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો . . . . . . છે.

શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે શ્રેણિક $X$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $X^T$ છે. તો પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $Q$ ની સંખ્યા,કે જેથી $Q^{-1} = Q^T$ અને $PQ = QP$ થાય,તે કેટલી છે?

જો $A$ અને $B$ બે ચોરસ શ્રેણિકો એવા હોય કે જેથી $B = -A^{-1}BA$ થાય,તો $(A + B)^2 = $